Factorial Final Surge | JEE 2026 | JEE Mains 2026 + JEE ADV. 2026

हेलो बच्चों, इस वीडियो में डिस्कस करने वाले हैं डिफरेंशिएबिलिटी का एक इंपॉर्टेंट टॉपिक। टॉपिक है डिटरमिनेशन ऑफ फंक्शन। डिटरमिनेशन ऑफ फंक्शन। जब हमें एक फंक्शनल इक्वेशन दे रखी है और फंक्शन डिफरेंशिएबल मेंशन कर रखा है। तो कैसे हम फंक्शन फाइंड कर सकते हैं? ये हम इस वीडियो में समझने वाले हैं। तो टोटल सिक्स क्वेश्चंस हैं मेरे पास में। मतलब सब में अलग-अलग फंक्शनल इक्वेशन दे रखी है और कैसे हम फंक्शन डिटरमाइन करेंगे यह हम इस वीडियो में सीखने वाले हैं और ये छह इक्वेशंस हम सॉल्व करेंगे। तो इसको सॉल्व करने के मेनली दो तरीके अपने पास में हैं। ठीक है? एक तरीका जो डिफरेंशिएबिलिटी का कोर कांसेप्ट यूज़ करता है। जिसके लिए हम पहले लिख देते हैं कि fa a + h - fa a / h टेंडिंग टू 0 अगर ये लिखा हुआ है और मेंशन कर रखा हो कि फंक्शन डिफरेंशिएबल है। तो इसको क्या लिखा जा सकता है? f- a कहा जा सकता है। ठीक है? तो इसी से हम अपना मेथड वन बनाने वाले हैं। जल्दी से देखते हैं। अच्छा इस मेथड को तुम ये भी कह सकते हो कि स्लोप ऑफ कॉर्ड बनाना ढूंढना इस मेथड का जो कोर है वो ये है कि तुम स्लोप ऑफ कॉर्ड बनाओ। तो ध्यान से मेरे पास में देखो फंक्शनल इक्वेशन दे रखी है ये। अब यहां से f (x + y दिख रहा है। सामने f(x) है। फिर fy है। तो अगर मैं ऐसा बनाऊं कुछ f (x + y) - fx राइट हैंड साइड लिखा हुआ है fy -1 + 2xy अब इससे हम कुछ कुछ ऐसा तो बना पा रहे हैं कि ये fx + y - fx है। यहां पर देखो fa a + h - fa a नीचे क्या चाहिए? h तो यहां पर डिनोमिनेटर में क्या चाहिए हमें? डिवाइड करना पड़ेगा y से। तो मैंने अगर मैं डिवाइड कर दिया इसको y से तो अभी भी कोई प्रॉब्लम नहीं है। दिस इज वैलिड फॉर ऑल x एंड y बिलोंग्स टू r। ठीक है? हां। अब यहां पर मुझे कम से कम इस बात का ध्यान तो रखना पड़ेगा कि y क्या नहीं हो सकता? ज़ीरो नहीं हो सकता। क्योंकि मैंने y से डिवाइड कर दिया है। ठीक है? अच्छा। अब मुझे क्या चाहिए? h टेंडिंग टू ज़ीरो। तो यहां पर मैं क्या कर दूंगा? y टेंडिंग टू ज़ीरो। अब ये y टेंडिंग टू ज़ीरो अगर लेफ्ट हैंड साइड किया है तो राइट हैंड साइड भी करना पड़ेगा। y टेंडिंग टू 0 अच्छा क्योंकि फंक्शन fx क्या है? डिेंशिएबल है। तो इसकी जगह क्या लिखा जा सकता है? सोच के देखो। fx + y - fx / y y टेंडिंग टू 0 पर ये बन जाएगा f-x ठीक है? और राइट हैंड साइड देखो क्या हो रहा है? y टेंडिंग टू 0 और इधर है fy - 1 / y और + 2xy / y तो कैंसिल हो जाएगा। ये बन जाएगा 2x. अच्छा इसको अगर ढंग से देखें तो fy - 1 / y मेरे पास में है। अब fy - 1 / y की लिमिट हम सॉल्व कर रहे हैं। और अब तक हमें ये अच्छे से समझ में आ रहा है कि y टेंडिंग टू 0 पर डिनोमिनेटर टेंडिंग टू 0 हो चुका है। तो न्यूमैरेटर टेंडिंग टू ज़ीरो अगर नहीं हुआ तब तो लिमिट एग्ज़िस्ट नहीं करेगी। इसका मतलब fy - 1 0 होना चाहिए। तब जाकर ये कुछ मीनिंगफुल बता पाएगा। तो इसका मतलब fy y 0 पर वन होना चाहिए। इसका मतलब f0 1 होना चाहिए। तो f0 1 है या नहीं है ये मुझे चेक भी करना है। तो इस फंक्शनल इक्वेशन से व्हिच इज़ वैलिड फॉर ऑल x एंड y मैंने x को भी ज़ीरो रख दिया। y को भी ज़ीरो रख दिया। क्या मिलेगा मुझे? मैं यहां पर साइड में लिख रहा हूं। इसके अंदर x को ज़ीरो रखा, y को ज़ीरो रखा। f0 = f0 + f0 - 1 ये कैंसिल हुआ। f0 कितना आ रहा है? वन आ रहा है। ठीक है? तो इसका मतलब ये न्यूमैरेटर भी किसको टेंड कर रहा है? ज़ीरो को टेंड कर रहा है। अच्छा, अब ये जो स्लोप ऑफ़ कॉर्ड का फॉर्मेट है, इसको फिर से मैंने ध्यान दिया। और देखो, fy - 1 की जगह अगर मैं क्या लिख दूं? इस तरह से fy - f0 / y टेंडिंग टू 0 बना दिया मैंने। और प्लस कौन है? 2x है। अब ध्यान से देखो। fy - f0 / y y टेंडिंग टू 0 क्या बन जाएगा? f' 0 तो f'x आ जाएगा f-0 + 2x अब क्यों डि ये जो फंक्शनल इक्वेशन का ये जो कांसेप्ट है वो अलग-अलग चैप्टर्स में हमें दिखता है वो तुम्हें यहां से समझ में आ रहा होगा कि f'(x) अगर f'0 + 2x है और शायद f'0 हमें कुछ बता रखा है। f'0 कितना है? 1 है। तो हमारे पास में f'x आ जाएगा 1 + 2x ठीक है? अब भले ही मान लो हमने एक बार के लिए कुछ आगे वाले चैप्टर्स नहीं पढ़ रखे। अगर तुम मान लेते हैं तुमने पहली बार ये चीज दिख रही है तो तब भी तुम देखो f'x = 1 + 2x है तो किसी का डेरिवेटिव अगर 1 + 2x है तो वो कौन है? तो वो 1 + 2x का इंटीग्रेशन ही तो हो जाएगा। तो यहां से मैं क्या लिख दूंगा? यहां से आ जाएगा अपने पास में fx राइट हैंड साइड आएगा x + x² और प्लस सम आर्बिटरी का कॉन्स्टेंट c मैंने लगा दिया। ठीक है? और मेरे पास क्या इंफॉर्मेशन पहले से पता है? f 0 कितना है? f 0 1 है। तो यहां पर मैंने x को 0 रख दिया। तो f0 1 c कितना आ जाएगा? c कितना आ जाएगा? वन आ जाएगा। तो फाइनली हमने फंक्शन फाइंड कर लिया। fx आ जाएगा x² + x + 1 हमारा इस क्वेश्चन का आंसर है। मतलब जो फंक्शन है वो हमने डिटरमाइन कर लिया। यह हुआ इस क्वेश्चन को सॉल्व करने का मेथड वन जहां हम स्लोप ऑफ कॉर्ड पर बहुत ज्यादा डिपेंड करते हैं, निर्भर करते हैं। अब इस क्वेश्चन को सॉल्व करने का इनफैक्ट ज्यादातर फंक्शनल इक्वेशन को सॉल्व करने का जो जहां पर फंक्शन डिफरेंशिएबल दे रखा हो या हमें पता हो उसके लिए जो तरीका है वो मैं तुम्हें बता रहा हूं। इसी इसी इसी चीज को अगर मैं वापस ले जाऊं पहले इसी फंक्शनल इक्वेशन को उठाकर यहां से सारी इन और फिर फाइंड करते हैं। मेथड टू में तुम्हें यहां पर बताता हूं। ठीक है? अच्छा ये यहां पर मैंने आंसर भी लिखा हुआ है। मैं तुम्हें शो कर देता हूं। x² + x + 1 आंसर आ चुका है। ठीक है? अब मैं तुम्हें बता रहा हूं मेथड टू इसका। ठीक है? ये मेथड टू जो है वो है पार्शियल डिफरेंशिएशन का यूज़। अब पार्शियल डिफरेंशिएशन जो है इसका सिर्फ इतना सा मतलब समझना कि ध्यान से देखो। ध्यान से अगर तुम एक चीज ऑब्जर्व करो कि यह जो फंक्शनल इक्वेशन है, दिस इज वैलिड फॉर ऑल x एंड y. ठीक है? x कुछ भी हो, y कुछ भी हो, यह हमेशा इसको सेटिस्फाई करता है। और x और y एक दूसरे से इंडिपेंडेंट है। यहां पर ये चीज ऑब्जर्व करना। x एंड y आर इंडिपेंडेंट ऑफ ईच अदर। अब इंडिपेंडेंट होना ज्यादा मतलब हमें समझ में आना चाहिए एज कंपेयर टू कांस्टेंट होने से मतलब नहीं है। जैसे मान लो मैं बोलूं कि एक एक्सप्रेशन दूसरे से इंडिपेंडेंट है तो उसके बदलने से उसको कोई फर्क नहीं पड़ेगा। ठीक है? इसी बात का अगर मैं यहां पर यूज़ करूं और इस मेथड को मैं स्टेप्स में बता रहा हूं क्योंकि ये तुम्हारा इस वीडियो के बाद प्राइमरी मेथड बनने वाला है। तो पहला स्टेप तो ये है कि जो तुम्हारी फंक्शनल इक्वेशन दे रखी है उसमें x या y के रिस्पेक्ट में तुम पार्शियली डिेंशिएट कर लो। ठीक है? मेरी आदत है मैं मोस्टली y के रिस्पेक्ट में पार्शियल डिफरेंशिएट करता हूं। तो हम लिख रहे हैं पार्शियल डिेंशिएट विद रिस्पेक्ट टू y और ब्रैकेट में लिख देता हूं और x वो तुम्हारी इच्छा है किसी एक के रिस्पेक्ट में करना और हो सकता है किसी किसी केसेस में y या x में कोई एक बेटर ऑप्शन हो तो हम दोनों के लिए रेडी रहेंगे ठीक है मैं इंक्लाइंड रहता हूं कि y हटा दूंगा मेरे को x में एक्सप्रेशन पसंद है। ठीक है? पार्शियल डिफरेंशिएट कर दिया विद रिस्पेक्ट टू y या फिर x डिपेंड करेगा कैसी सिचुएशन है। अब अगर मैं यहां पर ये जो कर रहा हूं वो साथ-साथ करता भी जाऊं। अगर इस तरफ ये चीज करता भी जाता हूं। तो पहला स्टेप क्या हुआ मेरा? फंक्शनल इक्वेशन थी। इसको पार्शियली डिेंशिएट कर दिया विद रिस्पेक्ट टू y. तो fx + y का डेरिवेटिव f'x + y राइट हैंड साइड fx का डेरिवेटिव ज़ीरो क्योंकि हम पार्शियल डिेंशिएट कर रहे हैं विद रिस्पेक्ट टू y प्लस fy का डेरिवेटिव f'y और प्लस 2xy का डेरिवेटिव यहां से आ जाएगा 2x और बाकी सब तो साफ हो जाएगा। ठीक है? पहला स्टेप। दूसरा स्टेप क्या है? दूसरा स्टेप ये है नाउ एलिमिनेट y। अब जिसके रिस्पेक्ट में तुमने पार्शियल डिफरेंशिएट किया है, मोस्टली तुम उस वेरिएबल को एलिमिनेट कर सकते हो। अब एलिमिनेट ऐसे करना है। मेक श्योर मेक श्योर अ देयर इज सम एक्सप्रेशन ऑफ सम एक्सप्रेशन ऑफ़ x ये ये मत भूल जाना कि ऐसा कुछ मत पुट कर देना जिससे कि y एलिमिनेट करने के चक्कर में या x एलिमिनेट करने के चक्कर में। y एलिमिनेट कर रहे हो x भी तुमने साफ कर दिया या x एलिमिनेट कर रहे थे तुमने y भी साफ कर दिया। तो ऐसा नहीं करना है। दोनों में से एक वेरिएबल तो रहना चाहिए। तो यहां पे अगर मैं देखूं तो इसमें अगर मैं y एलिमिनेट करूंगा तो y के लिए मैंने क्या रख दिया यहां पर? सेकंड स्टेप बनाने के लिए y को ज़ीरो रख दिया। ठीक है? क्योंकि ये जो इक्वेशन है वैलिड फॉर ऑल x एंड y वैलिड है। तो f'(x) कितना आ जाएगा? f-0 + 2x अब तुम ध्यान से एक बार ये फर्स्ट और सेकंड स्टेप ऑब्ज़र्व करो। और जो मेथड वन में हमने जो किया ये किया यहां किया ये सॉल्व किया ये देखा और फाइनली ये किया और फाइनली हम इस स्टेप पर पहुंचे। ठीक है? तो ये जो काम हमने ऊपर किया है मेथड टू ये काम विद इन टू लाइंस हमें दे देता है। f'(x) कितना आ रहा है? f'0 + 2x उसके बाद का क्वेश्चन तो सिंपल है ही कि हमें f'0 क्वेश्चन में दे ही रखा है। थर्ड तो मैं क्या बोलूंगा? नाउ फाइंड fx तो यहां पर f'x कितना है? f'0 कितना है? 1 + 2x अब इंटीग्रेट करके fx कितना आ जाएगा? x² + x + c और क्योंकि फंक्शनल इक्वेशन मेरे को एक इन्फेशन पता है कि ज़ीरो पर ज़ीरो वैल्यू आ रही है। तो f0 कितना है? वन है। इसका यूज़ करके हम f(x) पता कर लेंगे कितना आ जाएगा? x² + x + 1 ये अपना इस क्वेश्चन का आंसर है। ये सिर्फ एक क्वेश्चन नहीं बताया मैंने तुम्हें। ध्यान से देखा जाए तो डिफरेंशियल इक्वेशन सॉरी डिेंशियल गलत बोल रहा हूं। फंक्शनल इक्वेशन जिसमें फंक्शन डिफरेंशिएबल दे रखा हो या हमें पता हो तो उसको सॉल्व करने के दो मेथड्स हैं। मेथड वन जिसमें हम स्लोप ऑफ कॉर्ड बनाकर डेरिवेटिव का फॉर्मेट क्रिएट करते हैं। मेथड टू जो हमारा गो टू मेथड रहने वाला है। पार्शियल डिफरेंशिएशन का यूज़। अब हम बाकी इक्वेशंस जल्दी-जल्दी सॉल्व करते हैं। तो यहां पर अगर देखूं तो अब मैं किसके साथ जाने वाला हूं? पार्शियल डेरिवेटिव के साथ में। मुझे दिख रहा है fx / y fx - fy अच्छा ये फंक्शनल इक्वेशन इक्वेशन देखकर तुम्हें कुछ याद भी आ रहा होगा जैसे कि अभी हमें कुछ दिन पहले ही तो हमने फंक्शन चैप्टर पढ़ा था फाइनल सर्च में तो उसमें मैंने तुमसे कहा था कि कुछ फंक्शनल इक्वेशन जिसको देखकर कुछ फंक्शन याद आ जाए तो हम डायरेक्टली भी उसको यूज़ कर सकते हैं। तो इसको देखकर log शायद तुम्हारे मन में याद आ रहा होगा। तो चलो इसको प्रूव करते हैं। ठीक है? अच्छा यहां पर ये चीज मेंशन कर दी जानी चाहिए कि फंक्शन fx कैसा है? डिफरेंशिएबल है। ये गिवन है। फंक्शन क्या है? डिफरेंशिएबल है। ठीक है? अब डिेंशिएट करते हैं पार्शियल डिफरेंशिएशन और किसके रिस्पेक्ट में? विद रिस्पेक्ट टू y ही मैं कर रहा हूं। तो ये मुझे मिलेगा f'x / y इंटू में 1 / y 1 नहीं 1 / y नहीं इंटू में आ जाएगा x आ जाएगा। एक सेकंड मैंने y के रेस्पेक्ट में किया ना तो माइनस का x / y² आएगा। अब सेकंड = fx का डेरिवेटिव 0 - f' अब y एलिमिनेट करना है। y एलिमिनेट करने के लिए y 0 तो रख नहीं सकते। जैसे पिछले क्वेश्चन में किया था। तो इसमें मैं क्या कर रहा हूं? इसमें y को वन रख देते हैं। y को अगर मैं वन रखूंगा तो मेरे पास में आएगा f'(x) - x = - f'0 ठीक है? नहीं मैंने वन रखा है। ज़ीरो क्यों लिख रहा हूं? मैंने वन रखा है ना? f'1 और क्वेश्चन ने मुझे f'1 बता रखा है कितना है? f'1 कितना है? 1 है। तो ये आ जाएगा f-x = - का माइनस माइनस प्लस 1 / x आ जाएगा। तो f'x अगर 1 / x है तो fx कितना आ जाएगा? इसका इंटीग्रेशन कितना हो जाएगा? ln m x + c ठीक है? और यहां पर अगर कोई इंफॉर्मेशन मेरे पास में है तो उसको यूज़ कर लेते हैं। इसमें x को अगर मैं वन रखता हूं, y को वन रखता हूं तो मेरे पास में ये तो समझ में आ जाएगा कि f1 कितना है? ज़ीरो है। तो वन रखने पर c मुझे कितना दिख रहा है? ज़ीरो दिख रहा है। तो इसका मतलब f(x) क्या फंक्शन आ गया? ln मॉड x आ गया। ठीक है? फंक्शन आ गया ये ln मॉड x। लेकिन क्वेश्चन में एक और इनेशन है। दिस इज़ वैलिड फॉर x एंड y पॉजिटिव। तो इसका मतलब x भी पॉजिटिव है, y भी पॉजिटिव है। तो हमें नेगेटिव इनपुट की बात ही नहीं करनी। तो x अगर पॉजिटिव है, y पॉजिटिव है, तो सीधा मैंने अपना fx फंक्शन क्या लिख दिया? यहां से lnx मेरा यहां से फाइनल आंसर आ जाएगा। क्योंकि ये जो फंक्शनल इक्वेशन दे रखी है, दिस इज़ वैलिड ओनली फॉर x पॉजिटिव एंड y पॉजिटिव। मतलब पॉजिटिव इनपुट की ही बात कर रही है फंक्शनल इक्वेशन। तो, मेरा फाइनल आंसर f(x) क्या रहेगा? lnx इसका आंसर रहेगा। ठीक है? अब हम अगले क्वेश्चन पर आते हैं। क्वेश्चन नंबर थ्री देखते हैं हम यहां पर। fx + y = fx * fy ये फंक्शनल इक्वेशन भी तुम्हें याद होनी चाहिए। फंक्शन चैप्टर में देखा होगा। है ना? और फंक्शन डिेंशिएबल दे रखा है। तो प्रूव कर लेते हैं इसको कि क्यों ये फंक्शन वो बन रहा है जो तुम्हारे मन में चल रहा है। तो तुमने इसको डिफरेंशिएट किया पार्शियल डिेंशिएशन विद रिस्पेक्ट टू y ही कर रहा हूं। तो क्या बनेगा? f'x + y = fx * में f'y ठीक है और y को एलिमिनेट करना है। मैं यहां पर y को रख देता हूं। 0 y को ज़ीरो रखा। f-x = f'0 * में fx ये ठीक है। अच्छा अब मुझे f'0 तो क्वेश्चन में दे नहीं रखा है। उसके बारे में कोई इनेशन है नहीं। पर फंक्शन डिफरेंशिएबल है तो कुछ ना कुछ वैल्यू तो होगी इसकी। तो मैं इसको एक बार के लिए कुछ लैम्ब्डा लेकर चल लेते हैं। ठीक है? तो मेरे पास में है f'(x) = लैम्ब्डा टाइम्स fx। अभी तक क्वेश्चन नंबर वन और टू अगर देखा जाए तो वो बेसिक इंटीग्रेशन हमसे करवा रहा था। क्वेश्चन नंबर थ्री अगर ध्यान से देखें तो ये बेसिक इंटीग्रेशन से हटकर डिफरेंशियल इक्वेशन के बेसिक पर आ गए। इसलिए मैंने कहा था कि फंक्शनल इक्वेशन जो टॉपिक है वो अलग-अलग चैप्टर में इंपॉर्टेंट है। तो इसको अगर मैं ढंग से लिखूं f(x) को अगर मैं t मान लेता हूं। ठीक है? लैम्ब्डा तो लैम्ब्डा है ही। f'x क्या हो जाएगा? dt / dx हो जाएगा। ठीक है? अब एक ये बहुत ही सिंपल सी डिफरेंशियल इक्वेशन है। उसको सॉल्व करते हैं। dt / t = लैम्ब्डा टाइम्स dx का इंटीग्रेशन। ठीक है? ये जो हम कर रहे हैं वो एक डिफरेंशियल इक्वेशन सॉल्व करना सीख रहे हैं। इन केस तुमने ये कभी नहीं देखा डिफरेंशियल इक्वेशन। पहली बार पढ़ रहे हो तो तुमने ये काम फिजिक्स में पहले कर लिया होगा। तो उसके रेफरेंस से तुम एक बार के लिए ध्यान रख सकते हो। इसकी डिटेल हम मैथ्स में डिफरेंशियल इक्वेशन चैप्टर में पढ़ते हैं। इंटीग्रेट किया तो ये आ जाएगा ln m t = लैम्ब्डा x + c ठीक है? अब क्योंकि फंक्शन डिफरेंशिएबल दे रखा है तो मैं पहले तो ये मान लेता हूं कि लैम्ब्डा मेरा क्या है? नॉन ज़ीरो है। क्योंकि अगर लैम्ब्डा नॉन ज़ीरो है तभी तो मैं आगे की कहानी के बारे में इंटरेस्टेड हूं। अदरवाइज़ तो मैं वहीं पे सॉल्व कर दूंगा। अब ln मॉड t कितना है? म्ब्डा x + c है। और अब मैं इसको क्या कह सकता हूं? लैम्ब्डा मुझे पता है क्या? f' 0 है अभी तक। तो और c के बारे में कुछ पता है मेरे को? C के बारे में भी कुछ खास इंफॉर्मेशन मेरे पास में है नहीं। लेकिन अगर मैं x को ज़ीरो रख दूं। ठीक है? और y को भी ज़ीरो रख दूं तो मेरे पास में f0 कितना आ जाएगा? f² 0 आ जाएगा। तो अब f0 या तो कितना है? ज़ीरो है या फिर f0 कितना है? वन है। दो पॉसिबिलिटी है। ठीक है? अब दोनों पॉसिबिलिटीज़ को देखते हैं। अगर मैं f0 लेकर चलता हूं। f 0 लेकर चलता हूं। ठीक है? तो भाई मुझे ln के अंदर क्या रखना पड़ेगा? ln के अंदर रखना पड़ेगा। अ ln के अंदर अच्छा एक एक चीज सोचो। ln के अंदर अगर तुम x को ज़ीरो रखते हो। जैसे ये जो लिखा हुआ है वो लिखा हुआ है ft तुमने किसको माना है? fx को। तो ये लिखा हुआ है ln m fx = ्ब्ड x + c पर ये लिखने के साथ-साथ मेरे मन में जो बात चल रही है वो ये है कि तुम x को ज़ीरो रखोगे तो तुम्हें f 0 कितना रखना पड़ेगा ज़ीरो तो तुम ln में तो रख नहीं पाओगे तो तुम एक बार ओरिजिनल इक्वेशन में आ जाओ f0 अगर रखते हो तो अगर f0 ज़ीरो है तो यहीं पर अगर मैं y को ज़ीरो रख दूं तो मेरे पास में आ जाएगा fx = fx * f0 ठीक है और f0 तुम कह रहे हो ज़ीरो है तो तो fx ही कितना आ जाएगा? ज़ीरो आ जाएगा। तो इसका मतलब एक पॉसिबिलिटी तो है जब f0 हो। पर f0 अगर ज़ीरो है तो उस केस में फंक्शन एक ज़ीरो फंक्शन ही हो जाएगा। थ्रूउ मतलब फॉर ऑल x ये हमेशा क्या रहेगा? ज़ीरो रहेगा। इज इट अ पॉसिबल फंक्शन? यस। f(x) की वैल्यू हमेशा ज़ीरो। एक इस इस फंक्शनल इक्वेशन का एक पॉसिबल फंक्शन है। ठीक है? अच्छा। दूसरा केस अगर मैं f0 को क्या लेकर चलता हूं? f0 अगर कितना आ जाए? वन आ जाए। ठीक है? f0 अगर मैं वन लेकर चलता हूं तो यहां पर आते हैं। सबसे पहले तो x को ज़ीरो रखेंगे अगर ठीक है? तो ये आ जाएगा 0 c की वैल्यू आ जाएगी। और f 0 1 है। c की वैल्यू कितनी आ रही है? ज़ीरो। तो मेरे पास में ln m fx कितना आ रहा है? लैम्ब्डा टाइम्स x ही रहेगा। और ये m fx को क्या लिख सकता हूं मैं? m fx को मैंने लिख दिया e पावर लैम्ब्डा x हमारा ये आंसर आ जाएगा और क्योंकि मेरे को फंक्शन ने क्या नहीं बता रखा फंक्शन ने मुझे f'0 की वैल्यू दे नहीं रखी तो मैं इसी फॉर्म में इसका आंसर रख दूंगा बस मोड है तो वो मोड हमें कैसे हटाना है वो हम देख लेते हैं। अगर मैं x को ज़ीरो रखता हूं तो मेरे पास में मॉड f0 कितना आएगा? वो आ जाएगा वन। ठीक है? अब मॉड f01 है तो f01 है ही तो मोड कैसे खुलेगा पॉजिटिव साइन के साथ में तो मैंने यहां से सीधा fx खोल दिया e टू द पावर लैम्ब्डा x और ध्यान रहे लैम्ब्डा कौन है अपना f'0 हमारा लैम्ब्डा है। ठीक है? तो ये अपने पास में दो पॉसिबिलिटीज़ है। या तो अपना फंक्शन ज़ीरो फंक्शन है या फिर अपना फंक्शन e ^ लैम्ब्डा टाइम्स x है। जहां लैम्ब्डा f' 0 है। ऑब्वियसली लैम्ब्डा क्या नहीं होना चाहिए? लैम्ब्डा यहां पर मतलब लैम्ब्डा नहीं मतलब f 0 क्या नहीं होना चाहिए? ज़ीरो नहीं होना चाहिए। और रही बात लैम्ब्डा के नॉन ज़ीरो लिखने की। अगर मैं लैम्ब्डा को ज़ीरो रख दूंगा तो मेरे पास में ये चीज़ क्या आ जाएगी? f'(x) कितना रह जाएगा? 0 * fx मतलब ज़ीरो। तो f(x) क्या आ जाएगा? सम कांस्टेंट आ जाएगा। c ठीक है? c फॉर कांस्टेंट। तो वैसे अगर मैं इसको भी लिखूं तो e पावर लैλx में अगर λ0 रखता हूं तो ये चीज इसके अंदर भी इंक्लूड हो रही है। तो मैं अपना फाइनल आंसर जो देना चाहता हूं वो मैं इस तरह से लिख देता हूं। fx इज़ इदर ज़ीरो फंक्शन ऑफ इज़ e टू द पावर लैम्ब्डा x। अब लैम्ब्डा ज़ीरो है तो तो भी इससे आंसर आ रहा है। लैम्ब्डा अगर ज़ीरो नहीं है तो भी इससे आंसर आ जाएगा। ये अपना इस क्वेश्चन के लिए आंसर रहेगा। और यहां पर हमारे पास में आंसर भी है fx 0 या फिर e पावर kx k इसने लिखा है जहां पर हमने मैंने लैम्ब्डा लिखा था। अगले क्वेश्चन पर आते हैं। ये हो जाएगा अपना क्वेश्चन नंबर फोर। फंक्शन r - 0 से r - 0 पर डिफाइंड है। fx / y = fx / fy दिख रहा है। f'1 3 दे रखा है। fx पता करना है। फंक्शन डिेंशिएबल मेंशन कर देना चाहिए क्वेश्चन वाले को। अब स्टार्ट करते हैं। डिफरेंशिएट करते हैं। वही पार्शियल डेरिवेटिव विद रिस्पेक्ट टू y जा रहा हूं मैं। f'x / y और इधर आ जाएगा - x / y² राइट हैंड साइड आएगा fx एज़ इट इज़ f1 / fy का डेरिवेटिव fy² विद नेगेटिव साइन इंटू में f' और y ही एलिमिनेट करना है इस तरह से कि x रह जाए। तो y को मैंने पुट कर दिया 1 f'x - x = - fx f' 1 / f1² अब f1 तो पता कर ही लेते हैं। x और y दोनों को अगर मैं वन पुट कर दूं फंक्शनल इक्वेशन में तो f1 आ जाएगा f1 / f1 और इसकी डोमेन और कोड डोमेन में ज़ीरो नहीं है। तो ना तो इनपुट ज़ीरो हो सकता है ना आउटपुट ज़ीरो हो सकता है। तो f1 f1 / f1 मतलब वन ही हो जाएगा। ठीक है? तो ये आ गया मेरे पास में माइनस से माइनस कैंसिल। xf-x = 3fx ठीक है? और यहां से अगर मैं fx को t लेट कर लेता हूं तो मुझे दिख रहा है dt / dx = 3t / x और इसको अगर ढंग से लिखें तो ये बन रहा है dt / t = 3dx / x इंटीग्रेट करेंगे ये बनेगा ln m t अच्छा अगर तुम पहली बार डिेंशियल इक्वेशन सॉरी डिेंशियल इक्वेशन बोल रहा हूं मैं फंक्शनल इक्वेशन सॉल्व करना सीख रहे हो। मेरा मतलब तुम अभी तक डिफरेंशिएबिलिटी तक के कांसेप्ट जानते हो। तो यहां तक अगर तुम सॉल्व कर लिए तो तुमने एक तरह से डिफरेंशिएबिलिटी सारा अच्छे से सीख लिया है। ये चीज अगर तुमने 11th क्लास में बेसिक मैथ्स में देखा है इसका इंटीग्रेशन तब तो ठीक है कर लो। नहीं याद है तो छोड़ दो। और फिजिक्स में भी तुमने इसको थोड़ा बहुत देखा हुआ है। लेकिन अगर तुम ये सोच रहे हो कि मैथ्स में इंटीग्रेशन कब पढ़ोगे? अगर तुम 12th क्लास में आए हो अभी-अभी तो तुम्हारे लिए यह थोड़ा बाद का टॉपिक है। ठीक है? तो अगर तुम इसको यहां तक भी सॉल्व कर लेते हो तो मेरे अकॉर्डिंग तुम फंक्शनल इक्वेशन सॉल्व करना अच्छे से सीख गए हो। उसके बाद का यह जो प्रोसेस है वह डिफ़ेंशियल इक्वेशन है। ln m इधर आ जाएगा 3 ln m x और प्लस सम आर्बिटरी कॉन्स्टेंट c अब x1 रखने पर f भी वन आ रहा है। तो इसका मतलब x1 पर t भी वन है। तो इसका मतलब क्लियर है c तो यहां से ज़ीरो आ ही रहा है। इसमें कोई डाउट नहीं है। तो मेरे पास में मॉड t कितना आ गया? m x आ गया। अब x1 पर y1 है तो जो अह x का मैग्नीट्यूड है वही t का मैग्नीट्यूड है। तो मोड लगाने की जरूरत नहीं है। सीधा-सीधा fx कितना आ जाएगा? x यहां से मेरा फंक्शन आ जाएगा जो कि यहां पर आंसर है हमारे पास में। ठीक है? अब क्वेश्चन नंबर फाइव और क्वेश्चन नंबर सिक्स दो क्वेश्चन है अपने पास में। कौन सा सॉल्व करें? इनफैक्ट दोनों ही ठीक क्वेश्चन लग रहे हैं। तो अगर मैं क्वेश्चन नंबर फाइव पर आते हैं तो फाइव में 2x + 3y / 5 दिख रहा है। राइट हैंड साइड ये है। y के रेस्पेक्ट में पार्शियल डेरिवेटिव f'2x + 3y / 5 * में 3 / 5 = 3 / 5 f'y और अगर मैं y को ज़ीरो रखकर एलिमिनेट करता हूं तो f- 2x / 5 आ जाएगा। 3 /5 से 3/5 कैंसिल हो रहा है। हां। f- 0 और f' 0 मुझे नहीं दे रखा है ना? पर ये तो समझ में आ गया है कि f- अगर मैं 2x / 5 को t लेट कर लेता हूं तो f't कितना आ रहा है? f' 0 इसका मतलब ये कांस्टेंट आ रहा है। f'(t) f'1 अगर वन है तो ये भी कितना हो जाएगा? वन हो जाएगा। तो इसका मतलब ft कितना आ गया? t + c और f0 अगर वन है तो f0 अगर लिखता हूं तो यह आएगा 0 + c व्हिच इज़ 1 तो ft कितना आ रहा है? t + 1 यही हमसे पूछा था। ft अगर t + 1 है तो fx क्या आ जाएगा? x + 1 ये हमारा आंसर है। लास्ट क्वेश्चन हम देखें। क्वेश्चन नंबर सिक्स। अगर तुम्हें ये पांचों क्वेश्चन समझ में आ गए हैं अच्छे से तुमने सॉल्व कर लिए हैं। तो क्वेश्चन नंबर सिक्स तुम्हारे लिए होमवर्क क्वेश्चन रहेगा और इसका आंसर तुम कमेंट सेक्शन में मार्क कर सकते हो या कमेंट सेक्शन में तुम मुझे अ किसकी वैल्यू बता देना। तुम मुझे बता देना। f ऑफ वैल्यू बताओगे तुम। 3 की वैल्यू बता देना। ठीक है?